主页 > 惟楚资讯 > 学习资讯 >

暑假初一数学每日一学-绝对值最值问题

2018-10-26 14:45 浏览:108作者:admin

数学作为将来高考重要的一门学科,扎实的初中数学基础才能让学生在将来应对高考得心应手。但对于小学数学相比,初中数学内容较多且抽象,需要自己更强的理解能力,这些都会导致一些同学进入初中后不适应,惟楚競才长沙数学辅导班老师为大家整理初一数学知识点每日一学,让暑假准初一生可以提前了解初中数学学习的规律和要求,掌握方法,培养习惯,为即将到来的初一学习做好准备!今天为大家讲解的知识点是绝对值的最值问题希望大家能认真学习,打好基础。
 
 
 
例题1:
 
1.当x取何值时,|x-1|有最小值,这个最小值是多少?
 
2.当x取何值时,|x-1|+3有最小值,这个最小值是多少?
 
3. 当x取何值时,|x-1|-3有最小值,这个最小值是多少?
 
4.当x取何值时,-3+|x-1|有最小值,这个最小值是多少?
 
 
 
例题2:
 
1.当x取何值时,-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?
 
2.当x取何值时,-|x-1|+3有最大值,这个最大值是多少?
 
3.当x取何值时,-|x-1|-3有最大值,这个最大值是多少?
 
4.当x取何值时,3-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?
 
若想很好的解决以上2个例题,我们需要知道如下知识点:
 
1)非负数:0和正数,有最小值是0
 
2)非正数:0和负数,有最大值是0
 
3)任意有理数的绝对值都是非负数,即|a|≥0,则-|a|≤0
 
4)x是任意有理数,m是常数,则|x+m|≥0,有最小值是0, -|x+m|≤0有最大值是0(可以理解为x是任意有理数,则x+a依然是任意有理数,如|x+3|≥0,-|x+3|≤0或者|x-1|≥0,-|x-1|≤0)
 
5)x是任意有理数,m和n是常数,则|x+m|+n≥n,有最小值是n  -|x+m|+n≤n,有最大值是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左(n<0)平移了|n|个单位,为如|x-1|≥0,则|x-1|+3≥3,相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位,|x-1|≥0,有最小值是0,则|x-1|+3的最小值是3)
 
 
 
总结:根据3)、4)、5)可以发现,当绝对值前面是“+”号时,代数式有最小值,有“-”号时,代数式有最大值 . 
 
  
 
例题1:
 
1 . 当x取何值时,|x-1|有最小值,这个最小值是多少?
 
2. 当x取何值时,|x-1|+3有最小值,这个最小值是多少?
 
3. 当x取何值时,|x-1|-3有最小值,这个最小值是多少?
 
4. 当x取何值时,-3+|x-1|有最小值,这个最小值是多少?
 
解:
 
1.当x-1=0时,即x=1时,|x-1|有最小值是0                          
 
2.当x-1=0时,即x=1时,|x-1|+3有最小值是3                      
 
3.当x-1=0时,即x=1时,|x-1|-3有最小值是-3                      
 
4.此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3,即当x-1=0时,即x=1时,|x-1|-3  有最小值是-3                                                     
 
 
 
例题2:
 
1.当x取何值时,-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?
 
2. 当x取何值时,-|x-1|+3有最大值,这个最大值是多少?
 
3. 当x取何值时,-|x-1|-3有最大值,这个最大值是多少?
 
4.当x取何值时,3-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?
 
解:
 
1)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|有最大值是0
 
2)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|+3有最大值是3
 
3)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|-3有最大值是-3
 
4 ) 3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2)问一样,即:当x-1=0时,即x=1时, -|x-1|+3有最大值是3(同学们要学会变通哦)
 
 
 
思考:若x是任意有理数,a和b是常数,则
 
1)|x+a|有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?
 
2)|x+a|+b有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?
 
3) -|x+a|+b有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?
 
 
 
例题3:求|x+1|+|x-2|的最小值,并求出此时x的取值范围
 
分析:我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程:                         
 
可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2(-1和2都是零点值)在数轴上找到-1和2的位置,发现-1和2将数轴分为5个部分          
 
1)  当x<-1时,x+1<0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1
 
2)  当x=-1时,x+1=0,x-2=-3,则|x+1|+|x-2|=0+3=3
 
3)  当-1<x<2时,x+1>0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3
 
4)  当x=2时,x+1=3,x-2=0,则|x+1|+|x-2|=3+0=3
 
5)  当x>2时,x+1>0,x-2>0,则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
 
我们发现:
 
当x<-1时, |x+1|+|x-2|=-2x+1>3 
 
当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|=3
 
当x>2时,|x+1|+|x-2|=2x-1>3
 
所以:可知|x+1|+|x-2|的最小值是3,此时:    -1≤x≤2
 
解:可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2(-1和2都是零点值) 
 
则当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|的最小值是3         
 
评:若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少?并求x的取值范围?一般都出现填空题居多;若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以,针对例题中的问题,同学们只需要最终记住先求零点值,x的取值范围在这2个零点值之间,且包含2个零点值。
 
 
 
例题4:求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值,并求出此时x的值?
 
分析:先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
 
 可令x+11=0,x-12=0,x+13=0 得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值)
 
1)  当x<-13时,x+11<0,x-12<0,x+13<0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
 
2)  当x=-13时,x+11=-2,x-12=-25,x+13=0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
 
3)  当-13<x<-11时,x+11<0,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
 
4)  当x=-11时,x+11=0,x-12=-23,x+13=2,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
 
5)  当-11<x<12时,x+11>0,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
 
6)  当x=12时,,x+11=23,x-12=0,x+13=25,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
 
7) 当x>12时,x+11>0,x-12>0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
 
可知:
 
当x<-13时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27
 
当x=-13时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=40
 
当-13<x<-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27
 
当x=-11时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=25
 
当-11<x<12时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36 ,   25<x+36<48
 
当x=12时       |x+11|+|x-12|+|x+13|= 48
 
当x>12时,     |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48
 
观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25,此时x=-11
 
解:可令x+11=0,x-12=0,x+13=0 得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值)将-11,12,-13从小到大排列为-13<-11<12,可知-11处于-13和12之间,所以当x=-11,|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25  。                            
 
评:先求零点值,把零点值大小排列,处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。
 
 
 
例题4:求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
 
分析: 回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4
 
(1)当x<1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
 
(2)当1≤x<2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
 
(3)当2≤x<3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
 
(4)当3≤x<4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
 
(5)当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
 
根据x的范围判断出相应代数式的范围,在取所有范围中最小的值,即可求出对应的x的范围或者取值
 
解:根据绝对值的化简过程可以得出
 
当x<1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 >6 
 
当1≤x<2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 , 4<2x+8≤6 
 
当2≤x<3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4 
 
当3≤x<4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2     4<2x-2 <6 
 
当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6
 
则可以发现代数式的最小值是4,相应的x取值范围是2≤x≤3
 
 
 
归档总结:
 
若含有奇数个绝对值,处于中间的零点值可以使代数式取最小值
 
若含有偶数个绝对值,处于中间2个零点值之间的任意一个数(包含零点值)都可以使代数式取最小值 
 
 
 
以上是惟楚競才长沙数学辅导班老师为大家整理的初一数学知识点绝对值的最值问题,大家一定要理解概念,做对例题,这样才能牢牢的掌握知识点,如果有不懂的问题可以添加惟楚競才答疑老师微信(280617944),随时为大家解决学习难题。
 

关键字:
猜您还喜欢