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长沙全日制高考辅导班数学知识点:轨迹方程的求解

2018-10-24 14:27 浏览:84作者:admin

长沙全日制高考辅导班老师为大家整理数学知识点,轨迹方程的求解,详细的解题方法和步骤,供同学们参考。
 
符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.
 
轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).
 
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
 
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
 
⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标;
 
⒉写出点M的集合;
 
⒊列出方程=0;
 
⒋化简方程为最简形式;
 
⒌检验。
 
二、求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
 
⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
 
⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
 
⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
 
⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
 
⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
 
*直译法:求动点轨迹方程的一般步骤
 
①建系——建立适当的坐标系;
 
②设点——设轨迹上的任一点P(x,y);
 
③列式——列出动点p所满足的关系式;
 
④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简;
 
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
 
求动点的轨迹方程的基本步骤
 
⒈依据题目建立适当的坐标系,设出动点M(x,y)的坐标
 
  
 
⒉写出点M的集合(利用距离 斜率 中点等题目要求。注意联系所学过的曲线定义)  
 
 
 
⒊列出方程=0,化简方程为最简形式;
 
       
 
4.检验特殊点,进行必要的文字说明。
 
典型例题
 
例1、已知Q点是双曲线上异于二顶点的一动点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,从F2点向∠F1QF2的平分线作垂线F2P,垂足为P点,求P点的轨迹方程.
 
分析:注意图形的几何性质,联想到双曲线的定义,可考虑用定义法求轨迹方程.
 
解答:如图,连结OP,则由角平分线的性质,
 
得|AQ|=|F2Q|.
 
由三角形中位线性质,得.
 
.
 
(若点Q在双曲线的左支上时,应为).
 
即.∴P点轨迹方程即为.
 
例2、设动圆C的对称轴平行于坐标轴,长轴长为4,且以y轴为左准线,左顶点A在抛物线y2=x-1上移动,求这些椭圆的中心C的轨迹方程.
 
分析:A点和C点是一对相关点,设法将A点的坐标用C点坐标表达,用相关点法求C的轨迹方程.
 
解答:设中心C的坐标(x,y),则A的坐标为(x-2,y),又A在抛物线y2=x-1上移动.
 
∴y2=(x-2)-1,即y2=x-3,此即所求C的轨迹方程.
 
另外,问题也可用参数法求解.
 
∵左顶点A在抛物线y2=x-1上移动,
 
∴设A(t2+1,t)(t为参数).
 
∵y=yA=t,①
 
∵2a=4,∴a=2,∴x=xA+2=t2+3. ②
 
由①、②消去参数t,得中心C的轨迹方程是y2=x-3.
 
例3、如图,P是抛物线C:上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程.
 
分析:这是2004年全国高考题(福建卷)理科的压轴题,依题意直线l的方程可用P的横坐标表达,于是选择以P的横坐标为参数,用参数法求解动点M的轨迹方程.
 
解答:设P(x1,y1),M(x0,y0),其中x1≠0.
 
由,①
 
由,∴过点P的切线的斜率k切=x1,
 
∴直线l的斜率,
 
直线l的方程为 ②
 
联立①②消去y,得.
 
∵M为PQ的中点,∴
 
消去x1,得.
 
∴PQ中点M的轨迹方程为.
 
另外,此题属"中点弦"的问题,可考虑用"点差法"来处理.探求x0与x1的关系.
 
设P2(x2,y2),于是由.
 
得,
 
则,
 
将上式代入②并整理,得.
 
∴PQ中点M的轨迹方程为.
 

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